Język HTML zasadniczo nie jest przeznaczony do prezentacji wyrażeń matematycznych. Właściwszym narzędziem do ich zapisu jest język MathML, opracowany przez specjalistów z firmy Wolfram Research i zalecany przez Konsorcjum WWW.
W kursie formatowania dokumentów, opisanym w tym przewodniku, język HTML pełni rolę lingua latina: wzorcowego środka wyrażania i przekazywania idei. Nie jest to jednak typowy techniczny kurs nauki HTML; jego opanowanie może być najwyżej (prawda, że pożytecznym?) efektem ubocznym nauczenia się poprawnego projektowania dokumentów. Z technicznego punktu widzenia MathML jest zupełnie innym (choć podobnie zbudowanym) językiem znakowania i jego nauka wykracza poza obszar naszego zainteresowania. W centrum zainteresowania pozostają za to związki między sensem przekazu a doborem środków wyrazu, mające przełożenie na wszystkie możliwe środowiska lub języki formatowania. Z tego punktu widzenia zapoznanie się z ideami MathML może być pożyteczne, nawet jeżeli Czytelnik nie zamierza w sposób czynny korzystać z tego języka.
Niezdecydowanym przypomnę, że z notacji matematycznej korzystają nie tylko matematycy, ale także przedstawiciele innych nauk ścisłych, nauk technicznych, inżynierowie, przedstawiciele nauk przyrodniczych i w ogóle ci wszyscy, których interesują związki między wielkościami bądź danymi.
Tradycyjny HTML w czystej postaci powoli odchodzi do przeszłości, jednak wykształcił pewne nawyki autorów, wzmacniane przez dostępne oprogramowanie. W języku tym nie ma możliwości bezpośredniego znakowania wyrażeń matematycznych, dlatego każde przyjęte rozwiązanie jest kompromisem.
Najstarszy popularny sposób notacji matematycznej, wywodzący się z zamierzchłych czasów urządzeń wyłącznie znakowych, polegał na zamieszczaniu wyrażeń matematycznych w preformatowanej postaci znakowej.
2 2 2 x + y = R .
Sposób ten dane stosunkowo duże możliwości prezentacyjne. Nietrudno np. wyrazić w nim alternatywną postać równania okręgu, choć nie ma ona wiele wspólnego z opisem budowy odpowiedniej formuły matematycznej:
--------
/ 2 2
\/ x + y = R .
Oczywiście można tym sposobem przedstawiać także bardziej skomplikowane struktury matematyczne:
2 2 x y -- + -- = 1 . 2 2 a b
Obszar preformatowany jest tu traktowany jak rodzaj dwuwymiarowej planszy, na której umieszcza się niezależne znaki, podobnie jak w ASCII-art. Sposób ten, mimo że korzysta z kodu ASCII, ma zatem naturę graficzną. Oczywiście równanie można tylko czytać oczami, jego analiza automatyczna i wykorzystanie w rachunkach komputerowych nie są możliwe. Nie mówiąc już o tym, że estetyka tej notacji również pozostawia wiele do życzenia, zwłaszcza w porównaniu ze współczesnymi wymaganiami użytkowników i możliwościami urządzeń. Tym niemniej jest ona ekstremalnie odporna: wyrażenie będzie prawidłowo wyświetlone i wydrukowane przez dowolny program zdolny do przedstawiania zawartości plików znakowych; nic więcej nie jest potrzebne.
Inny sposób wiąże się z zamieszczaniem wyrażeń matematycznych w postaci plików graficznych:
Mimo, że równanie może być doskonale sformatowane przed zapisaniem obrazka, rozwiązanie takie uniemożliwia wszelkie dalsze przetwarzanie, czyli m.in.: automatyczne formatowanie (np. zmianę wielkości, dopasowanie do rozdzielczości, dopasowanie kroju czcionki), konwersję do innych postaci (poza ręcznym przepisaniem), automatyczne przeszukiwanie zawartości, edycję zawartości, a także odczyt na terminalu tekstowym (wielu ludzi wciąż ich używa). Stosowanie tej techniki przez popularne edytory, lub co gorsza przez świadomych rzeczy autorów, jest więc poważnym błędem metodycznym. Potrzebne jest inne rozwiązanie.
Proste formuły można zapisywać korzystając wprost ze znaczników HTML, zwłaszcza z indeksów górnych i dolnych oraz z dostępnych jednostek znakowych:
Dotyczy to jednak tylko najprostszych zależności. Na przykład równoważnej postaci równania okręgu z lewą stroną pod pierwiastkiem nie da się już napisać tą metodą.
Tabela jest uniwersalną postacią prezentacji danych tekstowych w dwuwymiarowym obszarze. Opis tabeli definiuje jej strukturę, zaś sformatowaniem zajmuje się przeglądarka klienta. Wyrażenie zapisane w postaci tabeli może być odczytane przez każdy program formatujący, rozumiejący język HTML, nawet jeżeli nie potrafi wyświetlać grafiki. Tekst źródłowy formuły wymaga mniej miejsca do przechowywania, niż odpowiedni czytelny obraz rastrowy. Na dodatek tabelę, jako część tekstu źródłowego, można poddawać edycji za pomocą standardowych narzędzi.
Oto nasze testowe równanie zapisane za pomocą tabeli:
| x2 | + | y2 | = | R2 |
o następującej budowie:
| x2 | + | y2 | = | R2 |
Tą metodą da się od biedy napisać także wersję z pierwiastkiem:
√ |
x2 + y2 |
= | R2 | . |
Tabela ma następującą budowę:
√ |
x2 + y2 |
= | R2 | . |
Podobnie da się przedstawić także równanie elipsy. Ułamkowi x2/a2 nadamy postać tabeli:
| x2 |
| a2 |
Strukturę całego równania elipsy oddajemy jednowierszową tabelą HTML, której elementami są kolejno:
| ułamek (tabela) |
działanie (znak) |
ułamek (tabela) |
relacja (znak) |
stała (znak) |
czyli
| + |
| = | 1 |
Mamy więc ostatecznie:
| + |
| = | 1. |
Jednak żaden program nie będzie w stanie automatycznie obliczać, analizować ani przekształcać wyrażeń opisanych za pomocą takich tabel. Środki formatowania, którymi dysponuje autor znakowania, nie mają nic wspólnego z rzeczywistością matematyczną odwzorowanego równania (oprócz tego, że zagnieżdżanie tabel może odpowiadać zagnieżdżaniu wyrażeń); metoda ta, podobnie jak poprzednie, nie jest więc godna polecenia do ogólnego stosowania, choć w przypadkach szczególnych może okazać się przydatna.
Wszystkie przedstawione wyżej metody mają poważne ograniczenia. Dlatego nadają się wyłącznie do doraźnego wykorzystania. Całościowe rozwiązanie notacji matematycznej wymaga wprowadzenia nowego narzędzia. Jedną z propozycji jest MathML. W przeglądarkach rozumiejących wyłącznie dialekty HTML, znaczniki MathML nie będą interpretowane.
Język MathML nie jest częścią HTML, lecz raczej jego równorzędnym partnerem zbudowanym środkami metajęzyka XML. Dlatego nie należy oczekiwać, że każdy program rozumiejący polecenia HTML będzie poprawnie formatował wyrażenia MathML. Tym niemniej wszystkie przeglądarki rozumiejące metajęzyk XML powinny sobie radzić z MathML. Teoretycznie powinny to być wszystkie współcześnie powstające przeglądarki.
Sztandarowym narzędziem do tworzenia i oglądania dokumentów zawierających kod MathML jest publicznie dostępny program o nazwie Amaya, mający oficjalne wsparcie ze strony Konsorcjum WWW. Zdolnością poprawnej interpretacji MathML mogą się poszczycić m.in. przeglądarki Mozilla Firefox i Seamonkey oraz ich pochodne, a po niewielkim uzupełnieniu w postaci modułu MathPlayer firmy Design Science także Microsoft Internet Explorer. Liczba programów i środowisk rozumiejących ten język szybko wzrasta.
Interpretacja znaczników MathML przez przeglądarkę wymaga,
by dokument miał format XML. Dlatego plik zawierający dokument
MathML powinien nosić nazwę z rozszerzeniem mml
lub xml, a nie html, zaś jego nagłówek powinien zawierać
kilka magicznych sekwencji języka XML, których znaczenia
nie będziemy wyjaśniać szczegółowo.
W definicji języka HTML, począwszy od wersji 4.0 z 1998 roku, umieszczono wiele nazw jednostek znakowych odpowiadających znakom alfabetu UNICODE, w tym znakom symboli matematycznych. Oto niektóre z nich:
| Nazwa jednostki | Wygląd znaku | Znaczenie |
|---|---|---|
< | < | nierówność ostra |
> | > | nierówność ostra |
≤ | ≤ | nierówność słaba |
≥ | ≥ | nierówność słaba |
≠ | ≠ | zaprzeczona równość |
≈ | ≈ | równość w przybliżeniu |
⟨ | ⟨ | lewy nawias kątowy |
⟩ | ⟩ | prawy nawias kątowy |
← | ← | strzałka w lewo |
→ | → | strzałka w prawo |
↑ | ↑ | strzałka w górę |
↓ | ↓ | strzałka w dół |
⇒ | ⇒ | prowadzi do |
− | − | znak minus |
± | ± | znak plus-minus |
⋅ | ⋅ | iloczyn, iloczyn skalarny |
× | × | iloczyn wektorowy |
√ | √ | pierwiastek |
∈ | ∈ | należy do |
∋ | ∋ | zawiera element |
∉ | ∉ | nie należy do |
⊂ | ⊂ | jest podzbiorem, zawiera się |
⊃ | ⊃ | jest nadzbiorem, zawiera zbiór |
∞ | ∞ | nieskończoność |
∑ | ∑ | operator sumy |
∏ | ∏ | operator iloczynu |
∫ | ∫ | całka |
∂ | ∂ | pochodna cząstkowa |
Ten sposób notacji należy traktować jako podstawowy, choć oczywiście te same znaki można umieścić w pliku źródłowym wieloma innymi sposobami. Język MathML wprowadza dodatkowe jednostki, odwołujące się do wielu innych znaków symboli matematycznych.
Oczywiście każda nazwana jednostka znakowa HTML lub MathML
odpowiada pewnemu znakowi UNICODE.
Numerami znaków UNICODE można posługiwać się jawnie,
umieszczając w tekście źródłowym nazwę jednostki w postaci numerycznej,
a nie symboliczej. Na przykład symbol sumowania
ma w UNICODE numer 8721, czyli 2211 w systemie szesnastkowym.
Tak więc ciągi znaków ∑, ∑ oraz ∑
są poprawnymi jednostkami znakowymi generującymi symbol „∑”.
Tym sposobem możemy wygenerować każdy symbol UNICODE, jeżeli znamy jego numer.
Nie trzeba dodawać, że stosowanie nazw symbolicznych zwiększa czytelność pliku źródłowego,
zaś stosowanie nazw numerycznych raczej ją utrudnia (ale tylko ludziom, bo automatom jest wszystko jedno).
Jednak nie wszystkie znaki mają standardowo nadane nazwy symboliczne.
W starszych dokumentach i środowiskach edycji popularne były swego rodzaju „protezy”. Polegały one na jawnym wskazaniu nazwy czcionki, zawierającej symbole matematyczne, i numeru znaku. Nie jest to rozwiązanie poprawne, gdyż:
Rozważmy dla przykładu możliwe sposoby przedstawienia operatora sumowania.
Znak „S” przedstawia literę łacińską, mającą w zestawie
ASCII numer 83.
Znak „S” zapisany czcionką Adobe Symbol ma postać graficzną
wielkiej litery Sigma. Ale co z tego: czy masz tę czcionkę? jeżeli masz,
to czy nazywa się ona „Symbol”? czy wszyscy czytelnicy Twojego dokumentu
na wszystkich możliwych maszynach będą mieć do dyspozycji tę właśnie czcionkę pod tą właśnie nazwą?
Pamiętaj, że znak „S” pozostaje cały czas znakiem numer 83, co uniemożliwi
przeglądarkom i edytorom automatyczne dopasowanie dostępnych czcionek tak, by czytelnik
widział prawidłowy symbol niezależnie od tego, z jakiego programu i w jakim środowisku korzysta.
Lepiej użyć jednostki znakowej UNICODE. Tylko której?
Jednostka Σ oznacza literę grecką „Σ”
(znak ten ma w zestawie UNICODE numer 931).
Jednostka o nazwie ∑ oznacza inny znak UNICODE
(o numerze 8721), przedstawiający właśnie operator sumowania „∑”.
Jedynym poprawnym rozwiązaniem jest użycie tego ostatniego symbolu.
Każde wyrażenie MathML musi być ujęte w znaczniki
<math>…</math>.
Wyrażenia matematyczne „w tekście” i „wystawione” różnią się jedynie wartością
atrybutu mode:
<math mode="inline">…</math> oznacza wyrażenie zawarte w bieżącym wierszu tekstu,
zaś <math mode="display">…</math> wyrażenie wyeksponowane w osobnym bloku.
Zależnie od zestawu stylów formatowania, tryby te mogą się różnić wielkością czcionek,
zasadami dobierania odstępów i innymi szczegółami.
Język MathML ma dwie warstwy: prezentacyjną i treściową.
Znaczy to, że każde wyrażenie matematyczne można opisać dwoma różnymi sposobami.
Warstwa prezentacyjna nawiązuje raczej do opisu wyglądu formuły niż do sposobu
jej obliczania. Zawiera elementy znakowania odpowiadające podstawowym grupom
symboli matematycznych:
nazwom zmiennych (mi),
nazwom i wartościom stałych (mn),
operatorom, symbolom działań i relacji (mo).
Dostępne są też znaczniki opisujące struktury matematyczne, takie jak
potęgi, ułamki, granice sumowania i całkowania, wektory i macierze, i wiele innych.
Tyle o notacji prezentacyjnej. MathML obejmuje również notację treściową. Umożliwia ona łatwiejsze obliczanie wartości wyrażeń (w oparciu o tzw. odwrotną notację polską) i ich przekształcanie; są to zadania bliższe prowadzeniu obliczeń niż tworzeniu dokumentów. Wiele operatorów i funkcji posiada swoje własne elementy znakowania, co umożliwia rozpoznawanie obiektów matematycznych przez programy. Mimo że notacja treściowa góruje precyzją nad notacją prezentacyjną, użytkownik nawykły do notacji graficznej może mieć pewne trudności z przestawieniem sposobu myślenia. Notacji treściowej nie będziemy omawiać szczegółowo; ograniczymy się do porównania obu notacji w kilku przykładach.
W dalszej części tego artykułu zamieszczamy przykłady wyrażeń sformatowanych środkami języka MathML, a czasami także HTML, opatrzone komentarzem.
W wyrażeniu MathML przedstawiającym równanie okręgu
zastosujemy następujące elementy znakowania logicznego: zmienne
,
i
,
stałą
,
potęgi (element msup) oraz operatory (element mo).
Element mrow pełni rolę niewidzialnego nawiasu grupującego,
wymuszającego kolejność działań:
To samo równanie zakodowane w notacji treściowej MathML przedstawia się następująco:
Pozostaje przedstawić jeszcze równanie okręgu w wersji „z pierwiastkiem”. W MathML pisze się je następująco:
Tekst źródłowy wyrażenia pod pierwiastkiem został umieszczony w obszarze między znacznikami
<msqrt>…</msqrt>,
Element msqrt generuje symbol pierwiastka w przeglądarce
(a także obliczenie wartości pierwiastka w programach obliczeniowych).
Na koniec to samo równanie przedstawione za pomocą notacji treściowej MathML:
Z analizy kodu źródłowego przykładów oglądanych po raz pierwszy można wynieść wrażenie, że MathML jest bardzo trudny i skomplikowany. Ale są to pozory. Zresztą, jeżeli użyjemy programu Amaya lub podobnego, nie musimy pisać kodu samodzielnie; będziemy go raczej konstruować korzystając z przyjaznego środowiska graficznego. Możemy też dowolnie mieszać edycję za pomocą narzędzi graficznych i edycję generowanego kodu w postaci znakowej.
Na pociechę dodamy, że — w przeciwieństwie do HTML, który zaprojektowano z myślą o ręcznej edycji kodu źródłowego, z możliwością użycia narzędzi wspomagających znakowanie — MathML powstał raczej dla wymiany informacji między programami. Tak więc podstawowym sposobem tworzenia wyrażeń MathML ma być zdaniem jego twórców korzystanie z edytorów wspomagających znakowanie (niekoniecznie WYSIWYG), zaś znakowy format przekazu ma ułatwić wymianę informacji i tworzenie narzędzi, jak również umożliwić ręczną edycję w sytuacjach awaryjnych.
Trzeba wiedzieć, że chociaż nazwy zmiennych zazwyczaj składa się kursywą, to nie należy jej
wymuszać znacznikami odnoszącymi się bezpośrednio do czcionek.
W HTML skorzystalibyśmy z elementu znakowania logicznego var
(variable oznacza zmienną) służącego do oznaczania zmiennych,
niekoniecznie matematycznych. Nazwy własne stałych, funkcji i operatorów piszemy czcionką prostą.
W MathML wykorzystamy specjalny element mi dla nazw zmiennych
matematycznych, np. <mi>x</mi> da nam
.
Mamy też element mn przeznaczony specjalnie do oznaczania stałych liczbowych.
Tak więc
otrzymamy z
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>.
Nazwy funkcji w MathML poprzedzamy
operatorem ⁡ (zastosuj funkcję), nakazującym traktowanie
argumentu jako nazwy funkcji, czego skutkiem jest m.in. dobor właściwej czcionki.
Tak więc funkcja sinus to
,
zaś odpowiedni kod źródłowy ma postać
<mo>⁡</mo><mi>sin</mi>.
Oto „jedynka trygonometryczna” i wzór Eulera zapisane w MathML-u:
Zgodnie z powszechną konwencją typograficzną, zastosowanie mnożenia można wyrazić zapisując
czynniki obok siebie, bez widocznego symbolu działania. W języku MathML
jest zdefiniowana jednostka ⁢ oznaczająca mnożenie, lecz pozbawiona
postaci graficznej. Jednostki tej używamy jako nazwy operatora: wyrażenie
otrzymano z poleceń <mi>i</mi><mo>⁢</mo><mo>⁡</mo><mi>sin</mi><mi>x</mi>.
Znaczniki treściowe MathML wyrażają wprost fakt,
że „jedynka trygonometryczna” przyrównuje (element eq)
do jedności (stała) sumę (element plus) potęg (element power)
sinusa (element sin) i cosinusa o wykładniku dwa (stała)
tej samej zmiennej x:
Widzimy, że zapis wyrażenia matematycznego w języku MathML dostarcza bardzo wiele informacji o tym wyrażeniu. Ten sam tekst źródłowy może służyć zarówno do prezentacji równania w programie przeglądarki, jak i do przeprowadzenia obliczeń za pomocą programu do obliczeń numerycznych, czy też do matematycznych przekształceń wyrażenia przy wykorzystaniu programu do rachunków symbolicznych.
W równaniu elipsy potrzebne są wyrażenia „piętrowe”. W czystym HTML brakuje środka do wyrażenia ułamka za pomocą znaczników; na ogół zadowalaliśmy się notacją liniową x2/a2.
W formułach o tym stopniu komplikacji użycie MathML
będzie już łatwiejsze, niż zagnieżdżanie tabel HTML.
Lecz przede wszystkim będzie bardziej poprawne — zamiast tabeli odwzorowującej
ułamek graficznie, stosujemy element mfrac, oznaczający właśnie ułamek:
Oprócz ułamków w równaniu wystąpiły także: znaczniki działania potęgowania (msup)
oraz znaczniki operatora matematycznego (mo) zastosowane do symboli operacji dodawania i relacji równości.
Równanie jest składane automatycznie.
Ułamki są tworzone automatycznie na podstawie opisu, bez „rzeźbienia” kreski ułamkowej!
Przy bardziej złożonych formułach zalety MathML ujawnią się
jeszcze wyraźniej.
Na wyższej półce leży notacja treściowa, z której dostajemy:
Możemy też „pomieszać” obie notacje:
Czas napisać wzór na sumę szeregu geometrycznego.
Korzystamy z jednostki ∞ generującej symbol nieskończoności „∞”
Operator sumowania uzyskamy z symbolu ∑ dającego „∑”
(należy odróżniać tę jednostkę od jednostki Σ oznaczającej grecką literę Σ,
a także od litery S zapisanej czcionką Adobe Symbol).
Używając jednostek znakowych UNICODE zgodnie z ich przeznaczeniem
oraz znaczników MathML dostaniemy:
Oczywiście
to
<mo>∑</mo>,
zaś struktura munderover umożliwia umieszczenie granic sumowania pod i nad operatorem.
To samo wyrażenie zapisane przy użyciu notacji treściowej będzie się przedstawiało następująo:
A oto pewna funkcja podcałkowa i jej funkcja pierwotna.
Znak całki tworzymy symbolem ∫.
Jak już mówiliśmy, nazwy zmiennych powinny być złożone kursywą,
lecz nazwy własne stałych, funkcji i operatorów składa się czcionką prostą.
Z odpowiedniej konstrukcji MathML dostaniemy
Stała całkowania
mimo swej nazwy nie jest stałą,
tylko zmienną, gdyż nie ma ustalonej z góry wartości.
W wyrażeniu
,
wskazującym na zmienną całkowania, operator różniczki
jest oznakowany jako <mo>d</mo>.
Przy stosowaniu notacji treściowej wszystkie elementy pomocnicze, jak nawiasy i symbol różniczki, zostaną wygenerowane automatycznie.
Na zakończenie przedstawimy kilka wyrażeń zawierających macierze i wektory.
Pierwsze z nich przedstawia sposób obliczania wyznacznika macierzy przekątniowej.
Korzystając z języka MathML, mamy do dyspozycji
struktury:
matrix i vector przeznaczone specjalnie dla macierzy i wektorów,
oraz mtable opisującą tablice.
Nie musimy podpierać się konstrukcjami zastępczymi, możemy też wprowadzić poprawne nawiasy:
Nie zapomnijmy o umieszczeniu operatora <mo>⁢</mo> między
mnożonymi czynnikami.
Podobnym sposobem możemy napisać wzór na mnożenie macierzy przekątniowych:
Przy okazji analizy powyższego przykładu możemy dostrzec, zrozumieć i docenić zasady automatycznego dobierania wielkości nawiasów.
© Copyright 2000–2003, 2008 by Jan Jełowicki, Katedra Matematyki Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu
